LECCION 22 INTEGRACION POR PARTES (EJEMPLOS PARTE 3 )


Ejemplos del uso del método de integración por partes 
Se resuelven por partes las integrales de x^2 (x al cuadrado) por seno de 2x y de x^3 (x al cubo) por e^x (la función exponencial)
Para los dos ejemplos se recalca lo útil de usar LIATE a la hora de seleccionar la u y como para ambos dicha u es extinguible considerando el hecho de la derivada sucesiva de funciones de la forma x^n se hace cero
veremos un problema donde hallaremos la solución de una integral utilizando para ello la técnica de integración por partes, recordemos que los que nos dice esta técnica es que si tenemos la integral de una función u multiplicada por la derivada de una función v el resultado será u que multiplica a v menos la integral de la función v que multiplica la derivada de la función u, es decir: ∫udv = uv-∫vdu, recordemos también que el éxito de este método radica en la elección de la función u y la elección de la función v y que en videos anteriores decíamos que el mejor criterio de selección de la función u era seguir el mecanismo LIATE (logarítmicas, inversas, algebraicas, trigonométricas y exponenciales). 

El problema que nos proponen desarrollar el siguiente: Resolver la siguiente integral:∫x^2[sen(2x) ]dx, como vemos si seguimos las recomendaciones del LIATE se debe escoger como función u la función algebraica ya que van antes que las trigonométricas, entonces decimos que: u=x^2 y por lo tanto dv es lo que queda, es decir dv =sen(2x)dx, tenemos a su vez que du=2xdx y v=-(1/2)cos(2x), como ya tenemos todos los elementos para emplear la integración por partes, procedemos a reemplazar estos resultados en la fórmula obteniendo que: ∫x^2[sen(2x) ]dx = -(x^2/2)cos(2x)+∫xcos(2x)dx, como vemos la integral del lado derecho de la igualdad se debe resolver por partes, si decimos que u=x y dv=cos(2x)dx, tenemos que du=dx y v=(1/2)sen(2x)dx, entonces reemplazando en la solución tenemos que: ∫x^2[sen(2x) ]dx = -(x^2/2)cos(2x)+[ (x/2)sen(2x)-∫(1/2)sen(2x)dx], como vemos la integral del lado derecho de la igualdad es fácilmente integrable, al resolver esta integral queda que el resultado final es: ∫x^2[sen(2x) ]dx = -(x^2/2)cos(2x)+ (x/2)sen(2x)+(1/4)cos(2x) + C.
https://www.youtube.com/watch?v=EQ02i_fsZ-8








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