LECCION 17 INTEGRAL DE UNA FUNCION COSECANTE
Integral de cosecante de una función por la derivada de dicha función
El resultado de dica integral es logaritmo natural de la diferencia entre cosecante y cotangente de la función
Este resultado no se obtiene a través de la derivación inmediata de una función conocida, es por ello que este video se muestra una forma muy particular para llegar a este resultado
El video contiene varios ejemplos de uso de esta fórmula y como mediante transformaciones podemos llevar a una función a la forma de esta y aplicarla
encontrar la integral de la función cosecante cuando se encuentra multiplicada por la derivada del ángulo, sin embargo existe un problema con esta función y es que no podemos hacer una deducción tan fácil como la que hicimos con las funciones seno y coseno, en este video veremos una forma muy particular para llegar entonces a la expresión de la antiderivada. La fórmula nos dice lo siguiente: ∫[cscf(x) ][f' (x) ]dx= ln|cscf(x)-cot(x)|+C. Para llegar a esta fórmula se parte de la integral de la cosecante de la función que multiplica a la derivada de la función, el artilugio que se empleara es multiplicar y dividir por cosecante de la función menos cotangente de la función, como vemos esta nueva integral tiene la forma: ∫[(g^' (x))/g(x) ]dx y sabemos que se integra como ∫[(g' (x))/g(x) ]dx = ln|g(x)| + C, observemos que en este caso g(x)=cscf(x)-cotf(x) y que g’(x)=-cscf(x)cotf(x)f’(x)+ csc^2f(x)f’(x), si factorizamos esta expresión tenemos que: g’(x)=cscf(x)f’(x)[-cotf(x)+cscf(x)], observemos que esta es la derivada del denominador y que se encuentra en el numerador y que por lo tanto queda demostrada la fórmula a la que queríamos llegar, veamos la integral más simple que se genera a partir de esta fórmula y que es ampliamente utilizada en las matemáticas e ingeniería, tenemos entonces que: ∫[csc(x) ]dx = ln|cscx-cotx| +C ya que ya que f(x)= x y f’(x)=1, a partir de lo que se viene viendo en los videos anteriores observemos que podemos deducir fácilmente el resultado de la integral cuando tengamos un ángulo compuesto, es decir: ∫[csc(ax) ]dx =(1/a) ln|csc(ax)-cot(ax)| +C. En el video se muestran varios problemas que muestran como usar esta fórmula y se ve como en algunos se deben hacer transformaciones para llegar a aplicar esta ecuación.
https://www.youtube.com/watch?v=xztSEwsPK24
El resultado de dica integral es logaritmo natural de la diferencia entre cosecante y cotangente de la función
Este resultado no se obtiene a través de la derivación inmediata de una función conocida, es por ello que este video se muestra una forma muy particular para llegar a este resultado
El video contiene varios ejemplos de uso de esta fórmula y como mediante transformaciones podemos llevar a una función a la forma de esta y aplicarla
encontrar la integral de la función cosecante cuando se encuentra multiplicada por la derivada del ángulo, sin embargo existe un problema con esta función y es que no podemos hacer una deducción tan fácil como la que hicimos con las funciones seno y coseno, en este video veremos una forma muy particular para llegar entonces a la expresión de la antiderivada. La fórmula nos dice lo siguiente: ∫[cscf(x) ][f' (x) ]dx= ln|cscf(x)-cot(x)|+C. Para llegar a esta fórmula se parte de la integral de la cosecante de la función que multiplica a la derivada de la función, el artilugio que se empleara es multiplicar y dividir por cosecante de la función menos cotangente de la función, como vemos esta nueva integral tiene la forma: ∫[(g^' (x))/g(x) ]dx y sabemos que se integra como ∫[(g' (x))/g(x) ]dx = ln|g(x)| + C, observemos que en este caso g(x)=cscf(x)-cotf(x) y que g’(x)=-cscf(x)cotf(x)f’(x)+ csc^2f(x)f’(x), si factorizamos esta expresión tenemos que: g’(x)=cscf(x)f’(x)[-cotf(x)+cscf(x)], observemos que esta es la derivada del denominador y que se encuentra en el numerador y que por lo tanto queda demostrada la fórmula a la que queríamos llegar, veamos la integral más simple que se genera a partir de esta fórmula y que es ampliamente utilizada en las matemáticas e ingeniería, tenemos entonces que: ∫[csc(x) ]dx = ln|cscx-cotx| +C ya que ya que f(x)= x y f’(x)=1, a partir de lo que se viene viendo en los videos anteriores observemos que podemos deducir fácilmente el resultado de la integral cuando tengamos un ángulo compuesto, es decir: ∫[csc(ax) ]dx =(1/a) ln|csc(ax)-cot(ax)| +C. En el video se muestran varios problemas que muestran como usar esta fórmula y se ve como en algunos se deben hacer transformaciones para llegar a aplicar esta ecuación.
https://www.youtube.com/watch?v=xztSEwsPK24
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