CALCULO INTEGRAL

Técnicas de integración: Primer caso de las integrales trigonométricas Se muestra el método para resolver integral de seno y coseno la n cuando n es positivo e impar Para ambos casos se parte por hacer par el exponente tomando un seno o coseno (según sea el caso) de forma que se tenga que expresar la integral original como un producto. La función de exponente par se transforma de forma que si es seno quede en términos de coseno y viceversa. La integral se transforma entonces en varias más simples de resolver https://www.youtube.com/watch?v=x5KSViyszuA https://www.youtube.com/watch?v=OoaskzJsRm0 https://www.youtube.com/watch?v=NB22a19FepU

Método de Integración recurrente para una integral recurrente Se muestra como es posible utilizar un algoritmo para calcular una integral por partes en los casos en que se tenga una función algebraica extinguible o en el caso en que se tenga el producto de una función trigonométrica por una exponencial Se resuelven tres integrales: x al cuadrado por seno de 2x; e la x por coseno de x y e la x por seno de 2x para mostrar cada uno de los casos un método que nos permite agilizar la integral por partes para unos casos muy específicos. El primer caso que vamos a analizar es cuando tengamos la integral de una función algebraica multiplicada por una exponencial, o en el caso de que tengamos una función algebraica contra una función trigonométrica. Este método lo vamos a denominar como integración por partes iterativas. Para comparar su uso, vamos a resolver la integral de una función algebraica por una exponencial utilizando integración por partes, y luego mediante la integración por partes i

Ejemplo de cómo resolver una integral usando el Método de Integral por Partes Se muestra como encontrar la primitiva de una función utilizando la técnica de integración por partes con un ejemplo que contiene una función algebraica y una exponencial A continuación se encuentra la primitiva de una función por medio de la integración por partes. Recordemos que para ello se necesita saber que la integral de udv, es igual a tener uv menos la integral de v du. Lo primero que tenemos que hacer es identificar nuestras partes, para ello se hace uso de una regla que nos permite encontrar a u, conocida como la regla L.I.A.T.E. (Logarítmica, inversa, algebraica, trigonométrica, exponencial). Esta regla nos dice que si tenemos en la integral una función logarítmica, inversa, algebraica, trigonométrica o exponencial, escogemos como u a la función que vaya según ese orden, quien primero aparezca. En el ejemplo que se resuelve aparece primero la función algebraica que la exponencial, por lo que la par

En este video se explica cómo resolver una integral usando el Método de Integración por Partes Se encuentra la antiderivada (primitiva) de la función x por seno de x utilizando como método de selección para la u LIATE para poder resolver la integral por partes veremos un problema donde hallaremos la solución de una integral utilizando para ello la técnica de integración por partes, recordemos que los que nos dice esta técnica es que si tenemos la integral de una función u multiplicada por la derivada de una función v el resultado será u que multiplica a v menos la integral de la función v que multiplica la derivada de la función u, es decir: ∫udv = uv-∫vdu, recordemos también que el éxito de este método radica en la elección de la función u y la elección de la función v y que en videos anteriores decíamos que el mejor criterio de selección de la función u era seguir el mecanismo LIATE (logarítmicas, inversas, algebraicas, trigonométricas y exponenciales).  El problema que nos proponen

En este video se explica cómo resolver una integral usando el Método de Integración por Partes Se encuentra la antiderivada (primitiva) de la función logaritmo de x sobre x^3 explicando cada paso de la integración por partes A continuación se explica cómo resolver una integral utilizando el método de la integración por partes. Para ello se recuerda que la integral de udv es igual a uv menos la integral de vdu. Lo primero que tenemos que hacer es identificar quién es u y quién es dv. “u” va a ser una función que vamos a derivar y nos va a permitir encontrar a du, y dv va a ser una función multiplicada por el diferencial que vamos a integrar para poder encontrar a v.  Debemos entonces comenzar por reescribir la función para que quede como el producto de udv. Para identificar a “u” utilizamos una regla conocida como L.I.A.T.E. (Logarítmicas, inversas, algebraicas, trigonométricas o exponenciales), ya que vamos a trabajar con este tipo de funciones. Otras personas utilizan una regla pareci

Ejemplos del uso del método de integración por partes  Se resuelven por partes las integrales de x^2 (x al cuadrado) por seno de 2x y de x^3 (x al cubo) por e^x (la función exponencial) Para los dos ejemplos se recalca lo útil de usar LIATE a la hora de seleccionar la u y como para ambos dicha u es extinguible considerando el hecho de la derivada sucesiva de funciones de la forma x^n se hace cero veremos un problema donde hallaremos la solución de una integral utilizando para ello la técnica de integración por partes, recordemos que los que nos dice esta técnica es que si tenemos la integral de una función u multiplicada por la derivada de una función v el resultado será u que multiplica a v menos la integral de la función v que multiplica la derivada de la función u, es decir: ∫udv = uv-∫vdu, recordemos también que el éxito de este método radica en la elección de la función u y la elección de la función v y que en videos anteriores decíamos que el mejor criterio de selección de la

Ejemplos del uso del método de integración por partes  Se resuelven por partes las integrales de e^x (función exponencial) por seno de x y logaritmo natural de x al cuadrado Para ambos ejemplos se recalca lo útil de usar LIATE a la hora de seleccionar la u y se muestra en el primero de ellos como es posible que luego de usar partes la integral original puede aparecer en la respuesta y como tratar este caso nuestra serie de ejemplos del uso de la integración por partes. Recordemos que para integrar por partes, debemos seleccionar primero a “u” y a “dv”, para lo cual nos podemos basar en los criterios jerárquicos del LIATE (Logarítmicas, inversas, algebraicas, trigonométricas, exponenciales). En el primer ejemplo se encuentra la integral por partes para la función e^x multiplicada por seno de x, teniendo una función exponencial por una trigonométrica, para lo cual utilizamos el mencionado criterio de jerarquías. Dado que la integral vuelve y aparece en la respuesta, es necesario sustitui

Ejemplos del uso del método de integración por partes  Se resuelven por partes las integrales de tangente inversa de x, x por seno de x y x^2 por seno de x Para los tres ejemplos se recalca lo útil de usar LIATE a la hora de seleccionar la u  veremos un problema donde hallaremos la solución de una integral utilizando para ello la técnica de integración por partes, recordemos que los que nos dice esta técnica es que si tenemos la integral de una función u multiplicada por la derivada de una función v el resultado será u que multiplica a v menos la integral de la función v que multiplica la derivada de la función u, es decir: ∫udv = uv-∫vdu, recordemos también que el éxito de este método radica en la elección de la función u y la elección de la función v y que en videos anteriores decíamos que el mejor criterio de selección de la función u era seguir el mecanismo LIATE (logarítmicas, inversas, algebraicas, trigonométricas y exponenciales).  El problema que nos proponen desarrollar el

Concepto de LIATE como ayuda para escoger al elemento u en una integración por partes LIATE establece que orden de prioridad se debe tener a la hora de escoger a u siguiendo la siguiente lista de funciones: logarítmicas, inversas, algebraicas, trigonométricas y exponenciales La regla no está escrita en piedra pero se hace muy útil  sobre la introducción al método de integración por partes habíamos dicho que el éxito de este método era la buena selección de de “u” y de “dv”. También al final dijimos en el video que en realidad ese éxito se reducía a escoger bien a “u”, porque si escogemos bien a “u” lo que sobra lo vamos a considerar dv en la integral. Ahora ¿cómo sabemos si una elección está bien? Para saber ello tenemos el concepto LIATE, que es la forma reducida para considerar los casos de funciones que podemos tener para “u” y el orden de jerarquías. Como vemos en el video, el orden de jerarquía sería entonces: 1) L: Logaritmos; 2) i: Inversas; 3) A: Algebraicas; 4) T: Trigonomét

Técnicas de integración: Introducción al método de integración por partes Se muestra la fórmula de integración por partes y de donde se deduce partiendo de la derivada de un producto Luego con ejemplos se muestra como hacer uso de esta con ejemplos y aclarando como selección al elemento u y al elemento dv que hacen parte de la misma la técnicas de integración más empleadas en el cálculo, este técnica de integración es conocida como integración por partes y nos dice que si tenemos la integral de una función u multiplicada por la derivada de una función v el resultado será u que multiplica a v menos la integral de la función v que multiplica la derivada de la función u, es decir: ∫udv = uv-∫vdu, observemos que esta ecuación nos dice que el resultado de esta integral es un término al cual se le resta una integral, lo cual llevaría a pensar que antes estamos complicando la integración ya que generamos otra nueva integral, pero esto no es del todo cierto ya que tenemos que la integral ∫vdu

Integral de cosecante de una función por la derivada de dicha función El resultado de dica integral es logaritmo natural de la diferencia entre cosecante y cotangente de la función Este resultado no se obtiene a través de la derivación inmediata de una función conocida, es por ello que este video se muestra una forma muy particular para llegar a este resultado El video contiene varios ejemplos de uso de esta fórmula y como mediante transformaciones podemos llevar a una función a la forma de esta y aplicarla  encontrar la integral de la función cosecante cuando se encuentra multiplicada por la derivada del ángulo, sin embargo existe un problema con esta función y es que no podemos hacer una deducción tan fácil como la que hicimos con las funciones seno y coseno, en este video veremos una forma muy particular para llegar entonces a la expresión de la antiderivada. La fórmula nos dice lo siguiente: ∫[cscf(x) ][f' (x) ]dx= ln|cscf(x)-cot(x)|+C. Para llegar a esta fórmula se parte de

Integral de secante de una función por la derivada de dicha función El resultado de dica integral es logaritmo natural de la suma de secante y tangente de la función Este resultado no se obtiene a través de la derivación inmediata de una función conocida, es por ello que este video se muestra una forma muy particular para llegar a este resultado. El video contiene varios ejemplos de uso de esta fórmula y como mediante transformaciones podemos llevar a una función a la forma de esta y aplicarla su derivada, coseno de un ángulo por su derivada, y demás, y no para la función secante. En este caso el resultado de dicha integral es logaritmo natural de la suma de secante y tangente de la función. La razón de colocar este video en este orden es que la función que da como resultado no fue estudiada en cálculo diferencial. Para llegar a dicho resultado requiere de elementos adicionales y no simplemente con conocer la derivada de una función que habíamos estudiado.  Observemos que la deriv

Fórmulas de integrales inmediatas deducidas a partir de las funciones trigonométricas inversas conocidas como integrales tipo arco o argumento Se muestran dos ejemplos de los 6 posibles casos que se tendrían. Dichos ejemplos son el uso de seno y tangente inversa para generar nuevas fórmulas. se muestra como a través de transformaciones podemos llevar integrales indefinidas a las formas presentadas para aplicar las fórmulas obtenidas y encontrar las primitivas que responden a dichas integrales En este video vamos a introducir unas nuevas expresiones o fórmulas para encontrar rápidamente las primitivas de funciones, estas fórmulas son: ∫[(f' (x))/√(1-f(x)^2 )]dx = sen^-1f(x)+ C e ∫[(f'(x))/(1-f(x)^2 )]dx = tan^-1f(x) +C, recordemos que estas expresiones se deducen a partir de las derivadas, veamos las integrales más simples que se generan a partir de estas fórmulas y que son ampliamente utilizadas en las matemáticas e ingeniería, tenemos entonces que: ∫[1/√(1-x^2)]dx = sen^-1(x)+

Integral del producto de secante de una función por tangente de la misma función por la derivada de dicha función.  Integral del producto de cosecante de una función por cotangente de la misma función por la derivada de dicha función.  En cada caso se tiene respectivamente secante y cosecante de la función como respuesta a estas integrales indefinidas Se muestran varios ejemplos prácticos del uso de estas fórmulas (consideradas integrales inmediatas) donde se parte de ejemplos muy simples hasta unos más complejos donde las integrales deben transformarse para que se acoplen a dichas fórmulas Recordemos que en el curso de cálculo diferencial habíamos dicho que la derivada de secante de un ángulo era igual a la secante multiplicada por la tangente y la derivada de dicho ángulo, entonces si integramos el producto de secante por tangente, llegaremos de nuevo a obtener la secante. De manera similar sucede con la cosecante, ya que su derivada es igual a menos cosecante por cotangente por la

Método y ejemplos de como encontrar la integral indefinida de la función secante al cuadrado cuando se encuentra multiplicada por la derivada del ángulo y de la función cosecante al cuadrado también cuando se encuentra multiplicada por la derivada del ángulo La primera integral es igual la tangente del ángulo y la segunda a la cotangente del ángulo ejemplos de distinta índole de complejidad ya que no siempre es posible vislumbrar que nos encontramos frente a este tipo de integrales (denominadas por algunos como integrales inmediatas). Se muestra el caso particular en que la derivada del ángulo sea una constante En este video veremos un par de integrales que si se pueden deducir directamente de la derivación, tenemos entonces que a partir de las siguientes derivadas d/dx[tanf(x)]=[sec^2f(x)][f’(x)] y d/dx[cotf(x)]= [-csc^2f(x)][f’(x)] podemos deducir las siguientes fórmulas de integración: ∫[sec^2f(x)] [f´(x)]dx = tanf(x)+C e ∫[csc^2f(x)] [f´(x)]dx =- cotf(x)+C, veamos las integral

Método y ejemplos de como encontrar la integral indefinida de la función cotangente cuando se encuentra multiplicada por la derivada del ángulo Dicha integral es igual al logaritmo natural del seno del ángulo En el video se muestran ejemplos de distinta índole de complejidad ya que no siempre es posible vislumbrar que nos encontramos frente a este tipo de integral (denominada por algunos como una integral inmediata pese a que se deduce de una tipo logarítmica) y se muestra el caso particular en que la derivada del ángulo sea una constante como sucede con la integral de tangente de un ángulo por la derivada de ese ángulo, no podemos deducir la fórmula de la integral de la cotangente de un ángulo por la derivada de ese ángulo a partir de una fórmula de derivación. De hecho, debemos deducir la fórmula para la integral de la cotangente, desde la misma definición de cotangente. Recordemos que cotangente es igual a coseno sobre seno del ángulo, recordando que en este caso estamos hablando qu

Método y ejemplos de como encontrar la integral indefinida de la función tangente cuando se encuentra multiplicada por la derivada del ángulo Dicha integral es igual al logaritmo natural de secante del ángulo o lo que es equivalente a menos el logaritmo de coseno del ángulo se muestran ejemplos de distinta índole de complejidad ya que no siempre es posible vislumbrar que nos encontramos frente a este tipo de integral (denominada por algunos como una integral inmediata pese a que se deduce de una sustitución) y se muestra el caso particular en que la derivada del ángulo sea una constante encontrar la primitiva de la función tangente cuando se encuentra multiplicada por la derivada del ángulo, sin embargo existe un problema con esta función y es que no podemos hacer una deducción tan fácil como la que hicimos con las funciones seno y coseno, ya que para la tangente no existe una derivada tan inmediata. Para deducir esta fórmula partimos del hecho de quela tangente se puede expresar como

Método y ejemplos de como encontrar la integral indefinida de la función coseno cuando se encuentra multiplicada por la derivada del ángulo Dicha integral es igual al seno de dicho ángulo En el video se muestran ejemplos de distinta índole de complejidad ya que no siempre es posible vislumbrar que nos encontramos frente a este tipo de integral (denominada por algunos como una integral inmediata) y se muestra el caso particular en que la derivada del ángulo sea una constante se habla acerca de la integral de la función coseno. Recordemos en los videos de cálculo diferencial que habíamos dicho que la derivada con respecto a x de seno de un ángulo, era igual al coseno de dicho ángulo por la derivada de ese ángulo. Dicho esto si integramos el coseno de un ángulo por la derivada de un ángulo, es igual al seno de ese ángulo más c. La primera integral que podemos resolver con esta fórmula es precisamente la integral del coseno de x, por el diferencial. En pocas palabras, la integral de coseno

Método y ejemplos de como encontrar la integral indefinida de la función seno cuando se encuentra multiplicada por la derivada del ángulo Dicha integral es igual menos el coseno de dicho ángulo  es posible vislumbrar que nos encontramos frente a este tipo de integral (denominada por algunos como una integral inmediata) y se muestra el caso particular en que la derivada del ángulo sea una constante  vamos a aprender a encontrar la primitiva de la función seno cuando se encuentra multiplicada por la derivada del ángulo, para ello debemos recordar la fórmula que nos dice que: (d/dx)[cosf(x)] =[-senf(x)][f’(x)], entonces decimos que si queremos hallar la integral del lado derecho de la ecuación obtendríamos el coseno de la función, es decir:∫[senf(x)][f’(x)]dx =- cosf(x)+C, entonces la primera integral que nace de esta ecuación es: ∫senxdx, observemos que en este caso f(x)=x y f’(x)=1 y por lo tanto decimos que: ∫senxdx=-cosx +C, podemos memorizar esta integral con el fin de tener resultad

Método y ejemplos de como encontrar la integral indefinida de la función exponencial cuando se encuentra multiplicada por la derivada del exponente Dicha integral es igual a la función exponencial dividida por el logaritmo natural de la base de dicha función exponencial   se deduce entonces de la fórmula de la derivada de un “a” a la f(x), una fórmula nueva para encontrar primitivas. Podemos decir entonces que cuando tengamos que encontrar la integral de una función exponencial por la derivada de su exponente, vamos a decir que es igual a tener la exponencial dvidida por el logaritmo natural de la base de dicha función. El ejemplo más simple y útil de recordar, es la de la integral de e a la x, que es igual a tener e a la x más c. De allí podemos deducir entonces que cuando tengamos que hallar la integral de e a la f(x), es igual a tener e a la f(x)+C. En el video se desarrollan algunos ejemplos para mostrar cómo hallar entonces este tipo de integrales de manera rápida, identificando q

https://www.youtube.com/watch?v=Bv6_l7J0MAU Tres ejemplos prácticos de cuando utilizar la fórmula para la integral del cociente entre la derivada de una función y la función en sí. Se muestra como integrar: 1. Tangente de x,  2. Una función donde el denominador es una función lineal y el numerador es una constante 3. El cociente entre dos funciones lineales integrales de algunas funciones a una forma en donde podamos aplicar las siguientes fórmulas: ∫〖(1/x)dx=〗 lnx + C y ∫〖[(f^' (x))/f(x) ]〗 = lnf(x) +C. El primer problema es el siguiente: Solucionar la siguiente integral: ∫tanxdx,para resolver este problema lo que debemos hacer es llevar la función que esta dentro de la integral a una de las dos formas mencionadas anteriormente, en este caso si expresamos la tangente como tanx=senx/cosx podemos emplear la segunda fórmula debido a que la derivada del coseno es menos seno, teniendo en cuenta lo anterior tenemos entonces que: ∫tanxdx= -∫(-senx)/cosx)dx = -ln(cosx)+ C = ln(cosx)^-1+C=

Método para encontrar la primitiva de x a la menos uno y de una función a la menos uno por su derivada mediante el uso de la función logaritmo natural Cuando se tenga que encontrar la integral de x a la menos uno diremos que la primitiva de esta función es el logaritmo natural del valor absoluto de x Cuando debamos integrar al cociente entre la derivada de una función y su función la primitiva será igual al logaritmo natural de la función (que se encuentra en el denominador) para resolver problemas donde tengamos x a la -1 o tengamos funciones a la -1 por su derivada. La primera fórmula nos habla de que la integral de x a la -1, o 1 sobre x, es igual al logaritmo natural de x más c (notemos que si derivamos logaritmo natural de x más c, como habíamos visto en cálculo diferencial, obtenemos 1/x). Para el segundo caso, cuando debemos encontrar la integral del cociente entre la derivada de una función y su función, podemos decir que es igual al logaritmo natural de la función más una cons

Método para integrar funciones a la potencia n cuando están multiplicadas por su derivada. En este caso se procede simplemente a expresar la primitiva como la función a la n+1 sobre esta misma cantidad. Esta fórmula solo es útil siempre que n sea diferente a menos uno En este video se explica un método para encontrar un método útil para encontrar funciones primitivas, mediante el uso de la fórmula expuesta. Si recordamos la derivada de funciones a la n, la cual demostramos en videos anteriores mediante el uso de la regla de la cadena, podríamos ver de dónde nace esta fórmula. En este video se demuestra que si la derivada es exactamente igual a la función que tenemos inicialmente, quiere decir que la fórmula es válida. Se realizan varios ejemplos en los que se encuentra la primitiva de varias funciones para demostrar la validez de la fórmula. Cuando tengamos una función a la n, por su derivada, simplemente decimos que la integral es la función a la n+1, sobre n+1, más una constante.

Método para integrar funciones a la potencia n cuando están multiplicadas por su derivada. En este caso se procede simplemente a expresar la primitiva como la función a la n+1 sobre esta misma cantidad. Esta fórmula solo es útil siempre que n sea diferente a menos uno En este video se explica un método para encontrar un método útil para encontrar funciones primitivas, mediante el uso de la fórmula expuesta. Si recordamos la derivada de funciones a la n, la cual demostramos en videos anteriores mediante el uso de la regla de la cadena, podríamos ver de dónde nace esta fórmula. En este video se demuestra que si la derivada es exactamente igual a la función que tenemos inicialmente, quiere decir que la fórmula es válida. Se realizan varios ejemplos en los que se encuentra la primitiva de varias funciones para demostrar la validez de la fórmula. Cuando tengamos una función a la n, por su derivada, simplemente decimos que la integral es la función a la n+1, sobre n+1, más una const